Resumen sobre el estudio y representación de Pi, su segunda potencia y sus aplicaciones

Este estudio tiene potenciales aplicaciones en arqueología, astronomía o biotecnología, así como en la construcción de túneles

Aunque parezca extraño existen ciertos cuerpos o figuras en las que no es posible conocer exactamente su área, podríamos decir los metros cuadrados de su piel. Esto ocurre con frecuencia con formas orgánicas de la naturaleza y en general con cuerpos que no son planos ni de revolución como es el caso de las superficies regladas, compuestas por rectas que se apoyan en dos o más curvas cualquiera.

Consideremos uno de estos cuerpos al que se le suele llamar conoide, es de máxima utilidad en estructuras y en ingeniería, porque viene a conectar de manera muy simple un rectángulo con un semicírculo. (Ver figura).

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Si cortamos en finas láminas el cuerpo de la figura por planos paralelos al eje Y (paralelos al semicírculo), observamos que el primer corte será un semicírculo y los siguientes serán elipses cuyo eje menos va disminuyendo hasta que es 0 y se convierte al final en una recta.

De manera que si esas láminas o cintas fuesen infinitesimalmente pequeñas tendríamos un cuerpo muy similar al de la figura en el que solo habría que sumar el área de todas las cintas de ancho dx multiplicadas por la correspondiente longitud de cada semi-elipse a fin de hallar el área.

Por desgracia la longitud de una elipse no se puede determinar con total exactitud y existen diversas expresiones que la aproximan con mayor o menor fortuna.

El matemático indio Ramanujan concibió una de estas aproximaciones, que solo dependen de la altura de la semielipse es decir de su eje menor porque el eje mayor es constante en la figura y su dimensión es R.

Haciendo que la altura de la elipse en el eje sea una función de x, el lado perpendicular al semicírculo, que viene definido por una recta inclinada como la hipotenusa de un triángulo, obtendremos una función de x que nos da la longitud aproximada de cada semielipse. Si la multiplicamos por el ancho de la correspondiente cinta dx, obtendremos una expresión diferencial similar al área del objeto.

Integrando esta expresión diferencial a todo lo largo del cuerpo de la figura, aparece esta integral,

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Estamos en condiciones de demostrar que el resultado de esta curiosa integral da un valor muy similar a Pi, 3.140923 pero por ser ligeramente diferente lo hemos bautizado como Psi.

La expresión completa de tal número trascendental es la siguiente:

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Veamos ahora que es lo que hemos calculado en la figura siguiente.

Es el área lateral del cuerpo de la figura (dividido en sendos hemisferios) mediante las aproximaciones a la longitud de la elipse del matemático indio Ramanujan.

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Si el citado cuerpo tiene un radio R unidad y longitud L (es decir altura del hemisferio) también unidad, se puede demostrar fácilmente que su área lateral es muy similar a PI elevado al cuadrado, es decir PI*PI.

De este modo se atribuye un sentido real y tridimensional al cuadrado de PI, pues anteriormente solo sabíamos que PI representa la longitud de una circunferencia de diámetro unidad.

El investigador Cabeza-Lainez ha dado a este original cuerpo, el nombre igualmente griego de Antisphera, por su similitud en características con la esfera, ver imagen de abajo. En cierto sentido, como visto desde un lado es cuadrado, y desde el lado perpendicular es el círculo inscrito en el anterior cuadrado, estaríamos ante una cuadratura del círculo en sentido tridimensional. Desde el perfil aparece como un astroide de cuatro puntas.

Por último, como el área de la antisphera es PI al cuadrado y su volumen es PI, la relación área/volumen de la figura siempre que su radio sea 1 y su semi-lado también 1, valdría precisamente PI!

Esa misma relación para la esfera de radio unidad vale 3, pero no 3.1415. Por poner otro ejemplo conocido en el cubo de lado unidad la misma relación vale 6. A veces concebimos por tanto la antisphera como una especie de eslabón intermedio entre la esfera y el cubo.

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Reproducción de Antisphera en oro por Joseph Cabeza-Lainez y en bronce por Sergio Portela Campos (autor de la escultura de la fuente de la generación del 27, Sevilla).


Convenientes desarrollos de estas formas realizados por el citado investigador, Joseph Cabeza Lainez, tendrán múltiples aplicaciones en la industria aeroespacial, la arquitectura y la ingeniería civil.

Si alargamos el rectángulo de la base a voluntad y cortamos por cuadrantes o por mitades la figura resultante, podemos diseñar muchos tipos de formas poli-lobuladas, vasijas y recipientes, anfiteatros cuyo graderío coincide con la fachada, y también muchas formas tubulares que puede servir para torres canalizaciones y túneles entre otros elementos.

En los artículos anexos se han demostrado las novedosas propiedades que tienen tales formas, mayor resistencia, aerodinámicas más apropiada, mejoras térmicas y lumínicas, y también en acústica y reducción de ruido. Todo ello a un coste mucho menor que las actuales soluciones porque como hemos demostrado al principio su área es menor comparada por ejemplo con un anfiteatro como el de itálica o con una tubería cilíndrica.  

Uno de los casos ya en aplicación son nuevos modelos de túneles (en colaboración con A. Peña García), edificaciones e infraestructuras y también en arqueología, astronomía o biotecnología se pueden esperar muchos avances.

Autor: Joseph Cabeza Lainez

Más información en:

Preprints ID: preprints-68819
Article title: An Integral Expression for Pi Obtained by Virtue of
Ramanujan’s Approximation in Conoidal Areas: Applications of the Resultant
Figure in Engineering
Doi: 10.20944/preprints202108.0557.v2
Website: https://www.preprints.org/manuscript/202108.0557/v2

Cabeza-Lainez J. Architectural Characteristics of Different Configurations Based on New Geometric Determinations for the Conoid. Buildings. 2022; 12(1):10. https://doi.org/10.3390/buildings12010010

A. Peña-García, J. Cabeza-Lainez, Daylighting of road tunnels through external ground-based light-pipes and complex reflective geometry, Tunnelling and Underground Space Technology, Volume 131, 2023, 104788, ISSN 0886-7798, https://doi.org/10.1016/j.tust.2022.104788.